Cálculo Ejemplos

$y = {(1 - \frac{x}{7})}^{- 7}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 7}$ y $g (x) = 1 - \frac{x}{7}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \frac{x}{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \frac{x}{7}$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{x}{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$

Paso 2.4

Como $- \frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$\frac{7}{7} {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{7}{7}$ y ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ .

$\frac{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}}{7} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.4

Mueve ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \cdot 1$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$ por $1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$

Paso 2.7.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(- \frac{x}{7} + 1)}^{8}}$