Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ y $g (x) = x^{5} - 8$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5} - 8$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 5.2

Resta $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 6.2

Combina $\frac{4}{5}$ y ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 6.3

Mueve ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 9

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + 0)$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4})$

Paso 10.2

Combina $5$ y $\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Paso 10.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Paso 10.4

Combina $\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 10.5

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $5$ de $5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 ({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}})}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{4}}{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$