Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{6} \ln (x))}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{6} \ln (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6} \ln (x)$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x^{6}$ y $\frac{1}{x}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $x^{6} \ln (x)$ .

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{4}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$5 (x^{24} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.2

Multiplica $x^{24}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$5 (x^{5} x^{24}) \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.2.3

Suma $5$ y $24$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{4}$ .

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{24} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Paso 5.3.4

Multiplica $6$ por $5$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{24} \ln^{4} (x) (\ln (x) (x^{5}))$

Paso 5.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) \ln (x)$

Paso 5.3.6

Suma $5$ y $24$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{4} (x) \ln (x)$

Paso 5.3.7

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{4} (x))$

Paso 5.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 4}$

Paso 5.3.9

Suma $1$ y $4$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x)$