Cálculo Ejemplos

$y = {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 10}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 10}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 10$ .

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 2.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{1}{2}$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{- 10}{2}$ y ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ .

$\frac{- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}}{2}$

Paso 2.6.4

Mueve ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Paso 2.6.5

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Paso 2.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 ({(\frac{x}{2} - 1)}^{11})}$

Paso 2.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Paso 2.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Paso 2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$