Cálculo Ejemplos

$f (x) \cdot (4 \ln (3 x^{2} - 5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $f (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)]$

Paso 1.2

Como $4 f (x)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)$ con respecto a $x$ es $4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$ .

$4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 5 x$ .

$4 f (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 f (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 5 x$ .

$4 f (x) (\frac{1}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x}$ y $4$ .

$\frac{4}{3 x^{2} - 5 x} f (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Paso 3.2

Combina $\frac{4}{3 x^{2} - 5 x}$ y $f (x)$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x}$

Paso 4.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 5 x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) - 5 x}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) + x \cdot - 5}$

Paso 4.2.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 5$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$

Paso 4.3

Multiplica $6 x - 5$ por $\frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$ .

$\frac{(6 x - 5) (4 f (x))}{x (3 x - 5)}$

Paso 4.4

Mueve $4$ a la izquierda de $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5) f (x)}{x (3 x - 5)}$