Cálculo Ejemplos

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.3.5.2

Suma $2$ y $3$ .

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$