Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{\arcsin (3 x)}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \arcsin (3 x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (3 x)] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y $x$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} (\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - 9 x^{2}}$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x))}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x - \sqrt{1 - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8.1.3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 3 x$ .

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - (3 x))} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{- \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x) + 3 x}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}}$