Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x}{y})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 4

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$