Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2}) + e^{2 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x^{2}) + e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.4

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \cdot 2$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{2}{x} + 2 e^{2 x}$