Cálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{5}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 10

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 12

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 12.4

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 12.5

Divide $5$ por $5$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 13

Simplifica $5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 14

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 16

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

Paso 17

Combina fracciones.

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Paso 17.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

Paso 17.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

Paso 17.3

Combina $\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$