Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} \sin (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Paso 5.2.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

Paso 5.2.6

Combina $2$ y $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

Paso 5.2.7

Combina $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ y $x$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{2}{x} + \cot (x)$