Cálculo Ejemplos

$\ln (1 + 3 x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Combina $3$ y $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Combina $2$ y $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x$

Paso 2.7.3

Combina $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Paso 2.7.4

Reordena los términos.

$\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$