Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x + 2}{x - 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 2}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 2}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x + 2}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x + 2}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{x + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.8

Combina fracciones.

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Paso 5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 1 - (x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.8.3

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $\frac{x - 1 - (x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 2))}{(x + 2) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 2) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 1))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 1))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1 - (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 1 - 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7.2.3

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3}{(x + 2) (x - 1)}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{(x + 2) (x - 1)}$