Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{k})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{k}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{k}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{k}$ .

$\frac{1}{x^{k}} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = k$ .

$\frac{1}{x^{k}} (k x^{k - 1})$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $k$ y $\frac{1}{x^{k}}$ .

$\frac{k}{x^{k}} x^{k - 1}$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{k}{x^{k}}$ y $x^{k - 1}$ .

$\frac{k x^{k - 1}}{x^{k}}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $x^{k - 1}$ y $x^{k}$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $x^{k}$ de $k x^{k - 1}$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k}}$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{k x^{- 1}}{1}$

Paso 2.2.3.2.4

Divide $k x^{- 1}$ por $1$ .

$k x^{- 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Combina $k$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{k}{x}$