Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{e - x}{e}$ por $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Paso 3.2

Como $e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e}{e - x}$ con respecto a $x$ es $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $e$ y $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Paso 3.3.2.2

Divide $e - x$ por $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{1}{e - x}$ como ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = e - x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Paso 5

Eleva $e - x$ a la potencia de $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Paso 7

Resta $2$ de $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $e - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 9

Como $e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Multiplica.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.2

Multiplica ${(e - x)}^{- 1}$ por $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Paso 14

Multiplica ${(e - x)}^{- 1}$ por $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Paso 15.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{- x + e}$

Paso 15.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Paso 15.4

Factoriza $- 1$ de $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Paso 15.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Paso 15.6

Reescribe $- (x - e)$ como $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Paso 15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x - e}$