Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{x + 1}$ .

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 5

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 7

Resta $2$ de $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1}$

Paso 12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x + 1}$