Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{30}{x}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{30}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{30}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.2

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{30}{x}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $30$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.6

Combina $- 30$ y $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.7

Combina $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ y $x^{- 2}$ .

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.8

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \arctan (\frac{10}{x})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Paso 3.3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10}{x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

Paso 3.7

Combina $- 10$ y $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

Paso 3.8

Combina $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

Paso 3.9

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 3.12

Multiplica $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{30}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.2

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{900}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.5.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.4.2

Divide $900$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.6

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.5.7

Combina $\frac{100}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.5.8

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.5.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.5.8.2

Divide $100$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Paso 4.5.9

Para escribir $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Paso 4.5.10

Para escribir $\frac{10}{x^{2} + 100}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Paso 4.5.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.5.11.1

Multiplica $\frac{30}{x^{2} + 900}$ por $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Paso 4.5.11.2

Multiplica $\frac{10}{x^{2} + 100}$ por $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.5.11.3

Reordena los factores de $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.5.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.6

Reordena los términos.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Factoriza $10$ de $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $10$ de $- 30 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.1.2

Factoriza $10$ de $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.3

Multiplica $- 3$ por $100$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.4

Resta $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.5

Resta $300$ de $900$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.6

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 600$ .

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Paso 4.7.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.6.2

Factoriza $2$ de $600$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.7.7

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.9

Reescribe $300$ como $- 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.11

Reescribe $- (x^{2} - 300)$ como $- 1 (x^{2} - 300)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$