Cálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.6.2

Resta $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.7

Combina $\frac{7}{5}$ y $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.8

Combina $9$ y $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 2.9

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4

Como $10000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Suma $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ y $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$