Cálculo Ejemplos

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Paso 2

Reordena $e^{u}$ y $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \cos (u)$ y $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Paso 5.2

Multiplica $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ por $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Paso 5.3

Reordena $e^{u}$ y $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \sin (u)$ y $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Paso 7

Al resolver $\int e^{u} \cos (u) d u$ , obtenemos que $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Paso 8

Reescribe $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Paso 10.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$