Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to 5} 5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 lim_{x \to 5} x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 \cdot 5}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - \sqrt{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.3

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.4

Como $- 5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $5^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4.13

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.5

Resta $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.8

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 5} - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.5.1

Reescribe $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{\sqrt{5}}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 5} x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $\sqrt{5}$ .

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Paso 4.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ al numerador.

$\frac{- \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $\sqrt{5}$ de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$