Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x}{x^{2} - 7}$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 7$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{x}{x^{2} - 7}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $x$ de $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Paso 13.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Paso 13.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 13.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Paso 13.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Paso 13.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Paso 13.5

Factoriza $x$ de $x^{3} - 7 x$ .

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Paso 13.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Paso 13.5.2

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Paso 13.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$