Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{5}}{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{5}}{3}$ .

$1 \frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{3}{x^{5}}$ por $1$ .

$\frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Paso 4

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{x^{5}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Paso 7.2

Combina $\frac{5}{x^{5}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{5}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{x}$