Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\arctan (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \arctan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\arctan (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\arctan (x)$ .

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Combina $\frac{1}{\arctan (x)}$ y $x$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{x}{\arctan (x)}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\ln (\arctan (x))$ por $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Paso 6.2.2

Para escribir $\ln (\arctan (x))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$