Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \cos (\ln (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sin (\ln (x))$ .

$x (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $x$ y $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.2.2

Divide $\sin (\ln (x))$ por $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $\cos (\ln (x))$ por $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$