Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \cos (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})] + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Multiplica $\sin (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$x (\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{- 2} x^{1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 2 + 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Suma $- 2$ y $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $\cos (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x} + \cos (\frac{1}{x})$