Cálculo Ejemplos

$x \ln (2 x + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2 x + 1}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{x}{2 x + 1}$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)$

Paso 4

Para escribir $\ln (2 x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Paso 6.1.1.3

Multiplica $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 6.1.1.4

Simplifica $2 \ln (2 x + 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 6.1.2

Reordena los factores en $2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x + x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$\frac{x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + 2 x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$