Cálculo Ejemplos

$x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Paso 2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Paso 2.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Paso 2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Paso 2.8

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 2.9

Combina $- 6$ y $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina los términos.

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Paso 3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$