Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sec (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{1}{x})] + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$x^{2} (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 2 + 2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica $x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.3

Reescribe $- 1 \sec (\frac{1}{x})$ como $- \sec (\frac{1}{x})$ .

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) (2 x)$

Paso 7

Reordena los términos.

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + 2 x \sec (\frac{1}{x})$