Cálculo Ejemplos

$y = (x^{5} + 3) \cdot e^{3 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5} + 3$ y $g (x) = e^{3 x^{2}}$ .

$(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}] + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{5} + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 (2 x)) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + 0)$

Paso 3.7

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{5} e^{3 x^{2}} + 3 e^{3 x^{2}}) (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} e^{3 x^{2}} (6 x) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $5$ .

$x^{6} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.3.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{6} e^{3 x^{2}}$ .

$6 \cdot (x^{6} e^{3 x^{2}}) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.3.5

Multiplica $6$ por $3$ .

$6 x^{6} e^{3 x^{2}} + 18 e^{3 x^{2}} x + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$6 e^{3 x^{2}} x^{6} + 18 e^{3 x^{2}} x + 5 e^{3 x^{2}} x^{4}$