Cálculo Ejemplos

$y = (x^{2} - 1) (x^{3} + 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x^{3} + 3$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3] + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$3 \cdot (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x)$

Paso 2.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3} + 3$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + 2 \cdot (x^{3} + 3) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot - 1) x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + (2 x^{3} + 2 \cdot 3) x$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 3} + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 2 \cdot 3 x$

Paso 3.5.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x$

Paso 3.5.7

Suma $3 x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$