Cálculo Ejemplos

$y = (x^{2} - 6 x) (x^{2} + 9 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 6 x$ y $g (x) = x^{2} + 9 x$ .

$(x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x] + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \cdot 1) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Paso 2.8

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $1$ de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1$ de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Paso 3.1.2

Factoriza $1$ de $(x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Paso 3.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Paso 3.2

Multiplica $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$(2 x + 9) (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Expande $(2 x + 9) (x^{2} - 6 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x^{2} - 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.1.5

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.2.2

Suma $- 12 x^{2}$ y $9 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.3

Expande $(2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x (x^{2} + 9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Paso 3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.4.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{2 + 1} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 (x \cdot x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Paso 3.4.4.1.5

Multiplica $9$ por $- 6$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 54 x$

Paso 3.4.4.2

Resta $6 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 54 x$

Paso 3.5

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 12 x^{2} - 54 x$

Paso 3.6

Suma $- 3 x^{2}$ y $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 54 x - 54 x$

Paso 3.7

Resta $54 x$ de $- 54 x$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 108 x$