Cálculo Ejemplos

$y = (x^{3} + 1) \ln (x^{3} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3} + 1$ y $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.4

Combina fracciones.

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Paso 3.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.4.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.4.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

Paso 3.8

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1^{3}} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.1.3

Simplifica.

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.2

Multiplica $x^{3} + 1$ por $\frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2})}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{(x^{3} + 1^{3}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.3.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $x^{2} - x + 1$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Paso 4.2.5.2

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$