Cálculo Ejemplos

$y = (2 x^{5} + 3) \cos (x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x^{5} + 3$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$(2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{5} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + 0)$

Paso 3.8

Suma $10 x^{4}$ y $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{5} (- 2 \sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 x^{5} (\sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (x^{1} x^{5}) \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 x^{1 + 5} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.2.4

Suma $1$ y $5$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 \sin (x^{2}) x + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 x \sin (x^{2}) + 10 x^{4} \cos (x^{2})$