Cálculo Ejemplos

$y = (x - 1) \ln (x - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + 0)$

Paso 3.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \cdot 1$

Paso 3.8.2

Multiplica $\ln (x - 1)$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Paso 3.8.3

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.8.3.1

Cancela el factor común.

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Paso 3.8.3.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x - 1)$