Cálculo Ejemplos

$y = (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x - 1$ y $g (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ .

$(4 x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$(4 x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x - 1$ .

$4 \cdot (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.7.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + 0)$

Paso 3.13

Simplifica la expresión.

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Paso 3.13.1

Suma $4$ y $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \cdot 4$

Paso 3.13.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${(3 x + 1)}^{4}$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 \cdot {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(12 (4 x) + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$(48 x + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 4.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 4.4

Factoriza ${(3 x + 1)}^{3}$ de $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza ${(3 x + 1)}^{3}$ de $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Paso 4.4.2

Factoriza ${(3 x + 1)}^{3}$ de $4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$

Paso 4.4.3

Factoriza ${(3 x + 1)}^{3}$ de ${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12 + 4 (3 x + 1))$