Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x) \sec (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (2 x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.4.2

Divide $2 \sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6

Multiplica $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 5.2.6.1

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6.2

Combina $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Paso 5.2.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.2.8

Multiplica $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 5.2.8.1

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Paso 5.2.8.2

Combina $\frac{2}{\cos (x)}$ y $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.4

Divide $2 (\sin (x))$ por $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.5

Separa las fracciones.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.6

Reescribe $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ como un producto.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 5.3.7

Escribe $\cos (2 x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 5.3.8

Simplifica.

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Paso 5.3.8.1

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 5.3.8.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Paso 5.3.9

Divide $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$