Cálculo Ejemplos

$x {(9 - x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(9 - x)}^{2}$ como $(9 - x) (9 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((9 - x) (9 - x))]$

Paso 2

Expande $(9 - x) (9 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 (9 - x) - x (9 - x))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x))]$

Paso 3.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - x (- x))]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2})]$

Paso 3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + x^{2})]$

Paso 3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 18 x + x^{2})]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 81 - 18 x + x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [81 - 18 x + x^{2}] + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $81 - 18 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.6

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$x (- 18 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \cdot 1$

Paso 5.9

Multiplica $81 - 18 x + x^{2}$ por $1$ .

$x (- 18 + 2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot - 18 + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Mueve $- 18$ a la izquierda de $x$ .

$- 18 \cdot x + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 18 x + 2 x^{1 + 1} + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 18 x + 2 x^{2} + 81 - 18 x + x^{2}$

Paso 6.2.6

Resta $18 x$ de $- 18 x$ .

$- 36 x + 2 x^{2} + 81 + x^{2}$

Paso 6.2.7

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$- 36 x + 3 x^{2} + 81$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$3 x^{2} - 36 x + 81$