Cálculo Ejemplos

$x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $16 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.3

Mueve ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 18

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Factoriza $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 22

Multiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 23

Para escribir ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Multiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Simplifica ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$