Cálculo Ejemplos

$\ln (2 x^{0.5})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{0.5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Combina $0.5$ y $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ y $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Paso 2.4.3

Mueve $x^{- 0.5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $x^{0.5}$ por $x^{0.5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Paso 3.1.2

Suma $0.5$ y $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Paso 3.2

Simplifica $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$