Cálculo Ejemplos

$\ln (6 x - \cos (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 6 x - \cos (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - - \sin (x))$

Paso 4

Multiplica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + 1 \sin (x))$

Paso 4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$ .

$(6 + \sin (x)) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \frac{1}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Paso 5.3

Combina $6$ y $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Paso 5.4

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{6 x - \cos (x)}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 + \sin (x)}{6 x - \cos (x)}$