Cálculo Ejemplos

$\ln (\ln (1 - x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (1 - x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (1 - x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (1 - x)$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{1 - x}$ por $\frac{1}{\ln (1 - x)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \cdot - 1$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

Paso 3.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

Paso 3.7.3.2

Reordena los factores en $- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ .

$- \frac{1}{\ln (1 - x) (1 - x)}$