Cálculo Ejemplos

$\ln (\csc (5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \csc (5 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 2

Reescribe $\csc (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 4

Multiplica $\sin (5 x)$ por $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 5.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Paso 6.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reordena los factores de $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Paso 7.2

Reescribe $\cot (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Paso 7.3

Combina $- 5$ y $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Paso 7.5

Reescribe $\csc (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.6

Multiplica $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Paso 7.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (5 x)}$ por $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.6.2

Eleva $\sin (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.6.3

Eleva $\sin (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Paso 7.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $\sin (5 x)$ .

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Paso 7.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ al numerador.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.7.2

Factoriza $\sin (5 x)$ de $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Paso 7.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 7.9

Separa las fracciones.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Paso 7.10

Convierte de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Paso 7.11

Divide $5$ por $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Paso 7.12

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$