Cálculo Ejemplos

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 2

Reescribe $\sec (\frac{2}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 4

Multiplica $\cos (\frac{2}{x})$ por $1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Paso 5.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

Paso 7.2.3

Combina $\cos (\frac{2}{x})$ y $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

Paso 7.2.4

Combina $\sec (\frac{2}{x})$ y $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

Paso 7.2.5

Combina $\tan (\frac{2}{x})$ y $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

Paso 7.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

Paso 7.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

Paso 7.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Reescribe $\tan (\frac{2}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.2

Reescribe $\sec (\frac{2}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3

Combina exponentes.

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Paso 7.3.3.1

Combina $2$ y $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.2

Multiplica $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ por $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\cos (\frac{2}{x})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.4

Eleva $\cos (\frac{2}{x})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Paso 7.3.3.7

Combina $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ y $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Paso 7.3.4

Reduce la expresión $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.3.4.1

Factoriza $\cos (\frac{2}{x})$ de $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Paso 7.3.4.2

Factoriza $\cos (\frac{2}{x})$ de $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Paso 7.3.4.3

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Paso 7.3.4.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Paso 7.5

Combinar.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Paso 7.7

Separa las fracciones.

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

Paso 7.8

Convierte de $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ a $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

Paso 7.9

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$