Cálculo Ejemplos

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

Paso 3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

Paso 3.6

Combina $\sin (x)$ y $\frac{- 2}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

Paso 3.7

Combina $\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ y $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

Paso 3.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

Paso 3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

Paso 3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

Paso 3.9.2.4

Divide $- \sin (x) \cos (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.2.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$