Cálculo Ejemplos

$\ln (\sin (x^{x}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x^{x})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x^{x})$ .

$\frac{1}{\sin (x^{x})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x^{x})}$ a $\csc (x^{x})$ .

$\csc (x^{x}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{x}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 4.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Paso 4.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 8.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 8.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Paso 9.3

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) e^{x \ln (x)} + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) + e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) \ln (x)$