Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2^{x}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2^{x}] - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 1 \cdot 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 2^{x}$ como $- 2^{x}$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores en $\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{x} \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{2^{x} x \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.3

Factoriza $2^{x}$ de $2^{x} x \ln (2) - 2^{x}$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2^{x}$ de $2^{x} x \ln (2)$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.3.2

Factoriza $2^{x}$ de $- 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 4.3.3

Factoriza $2^{x}$ de $2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2) - 1)}{x^{2}}$