Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

Paso 1

Reescribe ${(5 x + 7)}^{2}$ como $(5 x + 7) (5 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

Paso 2

Expande $(5 x + 7) (5 x + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.4

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.5

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Paso 3.1.6

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

Paso 3.2

Suma $35 x$ y $35 x$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 x^{2} + 70 x + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.2

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $25$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.5

Como $70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $70 x$ con respecto a $x$ es $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.7

Multiplica $70$ por $1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 6.8

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

Paso 6.9

Suma $50 x + 70$ y $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Mueve $70$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

Paso 7.3.2

Suma $70 x e^{x}$ y $e^{x} (50 x)$ .

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Paso 7.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Paso 7.3.2.2

Suma $70 x e^{x}$ y $50 x e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Paso 7.3.3

Suma $49 e^{x}$ y $70 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

Paso 7.5

Reordena los factores en $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$