Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x + \sqrt{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x + x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11

Combina $2$ y $\frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x \cdot 1 - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x \cdot 1) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.3

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + \frac{- x}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.1.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x)}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 12.3.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + 1}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.1.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.3.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 0 - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.2.2

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.3

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.4

Simplifica el denominador.

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Paso 12.4.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{1} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.4.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{1}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.4.1.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2}}$

Paso 12.4.1.4

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1))}^{2}}$

Paso 12.4.2

Aplica la regla del producto a $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 12.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.4.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.4.4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 12.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 12.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$