Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x - 7)}^{10} \cos (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 7)}^{10}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{10}$ y $g (x) = 2 x - 7$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 u^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 4.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + 0))$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \cdot 2)$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (20 {(2 x - 7)}^{9})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$

Paso 5.2

Reordena los factores en $- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$ .

$- \sin (x) {(2 x - 7)}^{10} + 20 \cos (x) {(2 x - 7)}^{9}$