Cálculo Ejemplos

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 e^{8 x} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{8 x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.2

Multiplica $8$ por $6$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.4

Multiplica $48$ por $1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $48 e^{8 x}$ y $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

Paso 5.6.2

Multiplica $48$ por $12$ .

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Multiplica $6$ por $576$ .

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Paso 6.3.2

Multiplica $e^{8 x}$ por $e^{8 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1

Mueve $e^{8 x}$ .

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Paso 6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Paso 6.3.2.3

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Paso 6.3.3

Multiplica $576$ por $5$ .

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$